解：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，

∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，

∵ $A B = \sqrt{2}$ ，

∴AC= $A B = \sqrt{2}$ ，

在Rt△ABC中由勾股定理 $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = 2$

∵AH⊥BC，

∴BH=CH=AH= $\frac{1}{2} B C = 1$ ，

∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ，BE=BH-EH=1-tanα，CF=CH-HF=1-tanβ，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，

∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，

在△AEF和△ADF中，

${\begin{array}{l} A E = A D \\ ∠ E A F = ∠ D A F \\ A F = A F \end{array}$ ，

∴△AEF≌△ADF（SAS），

∴EF=DF，

在Rt△CDF中， $D F^{2} = C D^{2} + C F^{2}$ 即 $E F^{2} = B E^{2} + C F^{2}$ ，

∴ ${(\tan α + \tan β)}^{2} = {(1 - \tan α)}^{2} + {(1 - \tan β)}^{2}$ ，

整理得 $2 \tan α \cdot \tan β = 1 - 2 \tan α + 1 - 2 \tan β$ ，

即 $\tan α \cdot \tan β = 1 - \tan α - \tan β$ ，

∴ $\tan α + \tan β = 1 - \tan α \cdot \tan β$ ，

∴ $\frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β} = 1 = \tan 45 ° = \tan (α + β)$ ，

∴ $\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}$ .

湖南省娄底市2021年中考数学试卷