解：由函数图象可知，当

x = 5

时，点

F

与点

B

重合，如图所示：

$∵ A P = 10 \sqrt{5} cm ， P E = E F = 10 cm$ ，

$∴ A E = \sqrt{A P^{2} - P E^{2}} = 20 cm$ ，

$∴ A B = A E + B E = A E + E F = 30 cm$ ，

在 $R t △ A B C$ 中， $B C = A B \cdot \sin A = 6 \sqrt{5} cm$ ，

$∴ A C = \sqrt{A B^{2} - B C^{2}} = 12 \sqrt{5} cm$ ，

则当点 $P$ 与点 $C$ 重合时， $n = \frac{A C}{2 \sqrt{5}} = 6 (s)$ ，

①当 $0 < x \leq 5$ 时， $A P = 2 \sqrt{5} x cm$ ， $E F = P E = A P \cdot \sin A = 2 x cm$ ，

则 $y = S_{R t △ E F P} = \frac{1}{2} E F \cdot P E = \frac{1}{2} E F^{2} = 2 x^{2}$ ；

②当 $5 < x \leq 6$ 时，

如图，设 $P R$ 交 $B C$ 于点 $N$ ，过点 $F$ 作 $F M ⊥ A C$ ，交 $A C$ 延长线于点 $M$ ，连接 $B P$ ，

$∵ A P = 2 \sqrt{5} x cm$ ， $E F = P E = A P \cdot \sin A = 2 x cm$ ，

$∴ A E = \sqrt{A P^{2} - A E^{2}} = 4 x cm$ ， $C P = A C - A P = (12 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} x) cm$ ，

$∴ B E = A B - A E = (30 - 4 x) cm$ ， $A F = E F + A E = 6 x cm$ ，

在 $R t △ A F M$ 中， $F M = A F \cdot \sin A = \frac{6 \sqrt{5}}{5} x cm$ ，

$∴ A M = \sqrt{A F^{2} - F M^{2}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5} x cm$ ，

$∴ P M = A M - A P = \frac{2 \sqrt{5}}{5} x cm$ ，

$∵ F M ⊥ A C ， ∠ A C B = 90 °$ ，

$∴ B C // F M$ ，

$∴ △ P C N \sim △ P M F$ ，

$∴ \frac{C N}{F M} = \frac{C P}{P M}$ ，即 $\frac{C N}{\frac{6 \sqrt{5}}{5} x} = \frac{12 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} x}{\frac{2 \sqrt{5}}{5} x}$ ，

解得 $C N = 36 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} x (cm)$ ，

$∴ B N = B C - C N = (6 \sqrt{5} x - 30 \sqrt{5}) cm$ ，

则 $y = S_{△ B N P} + S_{△ B E P} = \frac{1}{2} B N \cdot C P + \frac{1}{2} B E \cdot P E$ ，

$= \frac{1}{2} (6 \sqrt{5} x - 30 \sqrt{5}) (12 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} x) + \frac{1}{2} (30 - 4 x) \cdot 2 x$ ，

$= - 34 x^{2} + 360 x - 900$ ，

综上， $y = {\begin{array}{l} 2 x^{2} (0 < x \leq 5) \\ - 34 x^{2} + 360 x - 900 (5 < x \leq 6) \end{array}$ ；

湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市）2021年中考数学试卷