根据（1），以

D

为坐标原点，

\vec{D A}

的方向为

x

轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系 $D - x y z$ .

则 $P (1 ， 0 ， \sqrt{3})$ ， $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 1 ， 0)$ .

设 $\vec{P E} = λ \vec{P B} (0 \leq λ \leq 1)$ ，可得 $E (1 - λ ， 2 λ ， \sqrt{3} (1 - λ))$ ，于是 $\vec{C E} = (2 - λ ， 2 λ - 1 ， \sqrt{3} (1 - λ))$ .

取底面 $A B C D$ 法向量为 $\vec{m} = (0 ， 0 ， 1)$ ，则 $| \cos 〈 \vec{m} ， \vec{C E} 〉 | = \sin 30 °$ ， $\frac{| \sqrt{3} (1 - λ) |}{\sqrt{{(2 - λ)}^{2} + 2 {(λ - 1)}^{2} + 3 {(1 - λ)}^{2}}} = \frac{1}{2}$ ，可得 $λ = \frac{1}{2}$ 或 $λ = 2$ (舍去)， $\vec{C E} = (\frac{3}{2} ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

设平面 $E A C$ 法向量为 $\vec{n} = (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，因为 $\vec{A C} = (- 3 ， 1 ， 0)$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{n} = 0$ ， $\vec{C E} \cdot \vec{n} = 0$ ，得 ${\begin{array}{l} - 3 x_{0} + y_{0} = 0 \\ \frac{3}{2} x_{0} + \frac{\sqrt{3}}{2} z_{0} = 0 \end{array}$ ，取 $\vec{n} = (1 ， 3 ， - \sqrt{3})$ .

$| \cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 | = \frac{\sqrt{39}}{13}$ ，二面角 $E - A C - D$ 平面角是钝角，

故二面角 $E - A C - D$ 的余弦值是 $- \frac{\sqrt{39}}{13}$ .

辽宁省铁岭市2021届数学二模试卷