解：如答案图7.

证明：对称轴 $x = - \frac{4}{2 \times (- 1)} = 2$ ， $∴ E (2 ， \frac{7}{3})$ ，

$∵ E F + N F = 2 M F$ ， $∴ N F - M F = M F - E F$ ，

$∴ M N = M E$ ．过点M作 $M Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，

$∴ E K ∥ M Q ∥ N A$ ， $∴ \frac{Q K}{Q A} = \frac{M E}{M N}$ ，

$∴ Q K = Q A$ ．

当 $- x^{2} + 4 x = 0$ 时，解得 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 4$ ，

$∴ A (4 ， 0)$ ．

$∵ K (2 ， 0)$ ， $Q (m ， 0)$ ，

$∴ m - 2 = 4 - m$ ，

$∴ m = 3$ ． $∴ n = - 3^{2} + 4 \times 3 = 3$ ，

$∴ M (3 ， 3)$ ．

设直线EM的解析式为 $y = k_{2} x + b_{2}$ ，

$∴ {\begin{array}{l} 2 k_{2} + b_{2} = \frac{7}{3} ， \\ 3 k_{2} + b_{2} = 3. \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} k_{2} = \frac{2}{3} ， \\ b_{2} = 1. \end{array}$

$∴ y = \frac{2}{3} x + 1$ ．设直线EM交y轴于点S，过点S作 $S P ⊥ G F$ ，垂足为P ．

当 $x = 0$ 时， $y = 1$ ．

$∴ S (0 ， 1)$ ．当 $y = 0$ 时， $x = - \frac{3}{2}$ ，

$∴ F (- \frac{3}{2} ， 0)$ ，

$∴ O F = \frac{3}{2}$ ， $O S = 1$ ．

$∵ G (0 ， \frac{18}{5})$ ，

$∴ O G = \frac{18}{5}$ ，

$∴ G S = \frac{13}{5}$ ．

$∵ ∠ G P S = ∠ G O F = 90 °$ ， $∠ P G S = ∠ O G F$ ，

$∴ △ G P S ∽ △ G O F$ ，

$∴ \frac{G P}{G O} = \frac{P S}{O F}$ ， $∴ \frac{G P}{P S} = \frac{12}{5}$ ．

设 $G P = 12 a$ ，则 $P S = 5 a$ ．

在 $Rt △ G P S$ 中，

$∵ G P^{2} + P S^{2} = G S^{2}$ ，

$∴ {(12 a)}^{2} + {(5 a)}^{2} = {(\frac{13}{5})}^{2}$ ．

$∴ a = \pm \frac{1}{5}$ （负值舍去），

$∴ a = \frac{1}{5}$ ， $∴ P S = 1$ ，

$∴ P S = O S$ ．

$∵ S P ⊥ G F$ ， $S O ⊥ A F$ ，

$∴$ 射线FE平分 $∠ A F G$ ．

内蒙古包头市、巴彦淖尔市、乌兰察布市2021年中考数学试卷