解：①如图，当CD与

⊙ O

相切时，连接DO并延长，交AB于点F，

∵CD与 $⊙ O$ 相切，

∴ $D F ⊥ C D$ ，

∴ $A B = 2 B F$ ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ $A B // C D$ ，

∴ $D F ⊥ A B$ ，

在 $Rt △ B D F$ 中， $B F^{2} = B D^{2} - D F^{2} = 32 - {(O F + 3)}^{2}$ ，

在 $Rt △ B O F$ 中， $B F^{2} = B O^{2} - O F^{2} = 9 - O F^{2}$ ，

∴ $32 - {(O F + 3)}^{2} = 9 - O F^{2}$ ，解得 $O F = \frac{7}{3}$ ，

∴ $B F = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ ，

∴ $A B = 2 B F = \frac{8}{3} \sqrt{2}$ ；

如图，当BC与 $⊙ O$ 相切时，连接BO并延长，交AD于点G，

同理可得 $A G = D G = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ ， $O G = \frac{7}{3}$ ，

所以 $A B = \sqrt{B G^{2} + A G^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ，

综上所述，AB的长为 $\frac{8}{3} \sqrt{2}$ 或 $4 \sqrt{2}$ ；

②过点A作 $A H ⊥ B D$ ，

，

由（2）得： $B D = 4 \sqrt{2} ， A D = \frac{8}{3} \sqrt{2} ， B G = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} ，$

根据等面积法可得 $\frac{1}{2} B D \cdot A H = \frac{1}{2} A D \cdot B G$ ，

解得 $A H = \frac{32}{9}$ ，

在在 $Rt △ A D H$ 中， $D H = \sqrt{A D^{2} - A H^{2}} = \frac{8}{9} \sqrt{2}$ ，

∴ $H I = 2 \sqrt{2} - \frac{8}{9} \sqrt{2} = \frac{10}{9} \sqrt{2}$ ，

∴ $\tan ∠ A I H = \frac{A H}{H I} = \frac{8}{5} \sqrt{2}$ .

浙江省2021年中考数学真题分类汇编08 四边形