解：①当

C G // A E

时，∵

A B ⊥ C D

，

∴ $C G ⊥ C D$ ，

∴ $D G$ 为直径，即 $D$ ， $O$ ， $G$ 三点共线，

∴弧 $A G =$ 弧 $D B$ ，

∵ $G$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 中点，∴弧 $A G =$ 弧 $G C =$ 弧 $B C$ ，

∴弧 $A G = 60 °$ ， $∠ G D A = 30 °$

由（1）得 $△ A D G$ ∽ $△ C F G$ ，

∴ $∠ F = ∠ G D A = 30 °$ ，

∴ $\frac{G C}{C F} = \tan ∠ G F C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∵ $A G = G C$ ，

∴ $\frac{A G}{C F} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

②当 $G C // A D$ 时，则 $∠ A D C = ∠ G C F = ∠ D A G$ ，

∴弧 $D G =$ 弧 $A C =$ 弧 $A D$ ，

∴ $D A = D G$ ，

∵ $G$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 中点，∴ $A G = G C$ ，

∴ $△ D A G$ ≌ $△ F C G$ ，

∴ $C F = A D = G D = G F$ ，

$∵ G C // A D ，$

$∴ △ F G C ∽ △ F A D ，$

$∴$ $△ D A G$ ∽ $△ A F D$ ，∴ $\frac{A G}{A D} = \frac{A D}{A F}$ ，

设 $C F = 1$ ， $A G = x$ ，则 $\frac{x}{1} = \frac{1}{x + 1}$ ，解得 $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，

即 $\frac{A G}{C F} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

浙江省温州市龙湾区2021年数学中考第二次适应性试卷