解：分三种情况讨论：

①如图所示.

∵y $= \frac{1}{3}$ x+b，当x=0时，y=b，

∴B（0，b），

过点E作EG垂直于NF，设对称轴与x轴的交点为M，BG与y轴的交点为点H.

∵四边形EFAB为正方形，可知△EFG≌△ABO（AAS），△FMA≌△ABO（AAS），∴OB=AM=FG=﹣b.

∵抛物线的对称轴为直线x=4，

∴OA=FM=EG=4﹣b，

∴A（4﹣b，0），E（b，4），

将点A代入直线解析式得：0 $= \frac{1}{3}$ （4﹣b）+b，解得：b=﹣2，

∴E（﹣2，4），

∴4=a（﹣2﹣4）²﹣16，

解得：a $= \frac{5}{9}$ .故a $= \frac{5}{9}$ ，b=﹣2.

②如图所示.

△OBA≌△AFG（AAS），△OBA≌△BEQ（AAS），

∴OB=EQ=AG=﹣b，

∴OA=FG=BQ=4+b，

∴A（4+b，0），E（﹣b，﹣4），

将点A代入直线解析式得：0 $= \frac{1}{3}$ （4+b）+b，解得：b=﹣1，

∴E（1，﹣4），将点E（1，﹣4）代入抛物线解析式得：﹣4=a（1﹣4）²﹣16，

解得：a $= \frac{4}{3}$ .故a $= \frac{4}{3}$ ，b=﹣1.

③如图所示.

△ABO≌△EAG（AAS），△ABO≌△FBH（AAS），

∴OB=BH=AG=4，

∴b=4，

∴OA=12，EG=12，

∴E（﹣8，﹣12），

代入抛物线解析式得：﹣12=a（﹣8﹣4）²﹣16，解得：a $= \frac{1}{36}$ .

故a $= \frac{1}{36}$ ，b=4.

综上所述：a $= \frac{5}{9}$ ，b=﹣2或a $= \frac{4}{3}$ ，b=﹣1或a $= \frac{1}{36}$ ，b=4.

四川省绵阳市梓潼县2021年九年级数学中考一诊试卷