解：存在以点Q为直角顶点的等腰

R t △ C Q R

，理由如下：

设点 $Q (a ， - a^{2} + 2 a + 8)$ ，则有：

①当点Q在第二象限时，存在等腰 $R t △ C Q R$ 时，如图所示：

过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，

∴ $∠ C K Q = ∠ Q L R = ∠ L O C = 90 °$ ，

∴四边形COLK是矩形，

∴CK=OL，

∵等腰 $R t △ C Q R$ ，

∴ $C Q = Q R ， ∠ C Q R = 90 °$ ，

∴ $∠ C Q K + ∠ K C Q = ∠ C Q K + ∠ L Q R = 90 °$ ，

∴ $∠ K C Q = ∠ L Q R$ ，

∴ $△ K C Q ≌ △ L Q R (A A S)$ ，

∴ $Q L = C K$ ，

∴ $Q L = C K = O L$ ，

∵点 $Q (a ， - a^{2} + 2 a + 8)$ ，

∴ $- a = - a^{2} + 2 a + 8$ ，

解得： $a_{1} = \frac{3 - \sqrt{41}}{2} ， a_{2} = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$ （不符合题意，舍去），

∴ $Q (\frac{3 - \sqrt{41}}{2} ， \frac{\sqrt{41} - 3}{2})$ ；

②当点Q在第一象限时，存在等腰 $R t △ C Q R$ 时，如图所示：

同理①可得 $a = - a^{2} + 2 a + 8$ ，

解得： $a_{1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} ， a_{2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ （不符合题意，舍去），

∴ $Q (\frac{1 + \sqrt{33}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$ ；

综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰 $R t △ C Q R$ 时，点 $Q (\frac{1 + \sqrt{33}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$ 或 $Q (\frac{3 - \sqrt{41}}{2} ， \frac{\sqrt{41} - 3}{2})$

湖南省怀化市2021年中考数学试卷