解：①连接

O A

，

A C

，

∵ $A D ⊥ B C$ ，

∴ $A E = E D$ ，

∴ $C A = C D$ ，

∴ $∠ D = ∠ C A D$ ，

∵ $∠ G A E = 2 ∠ D$ ，

∴ $∠ C A G = ∠ C A D = ∠ D$ ，

∵ $O C = O A$ ，

∴ $∠ O C A = ∠ O A C$ ，

∵ $∠ C E A = 90 °$ ，

∴ $∠ C A E + ∠ A C E = 90 °$ ，

∴ $∠ C A G + ∠ O A C = 90 °$ ，

∴ $O A ⊥ A G$ ，

∴ $A G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

②过点 $C$ 作 $C H ⊥ A G$ 于 $H$ .设 $C G = x$ ， $G H = y$ .

∵ $C A$ 平分 $∠ G A E$ ， $C H ⊥ A G$ ， $C E ⊥ A E$ ，

∴ $C H = C E$ ，

∵ $∠ A E C = ∠ A H C = 90 °$ ， $A C = A C$ ， $E C = C H$ ，

∴ $Rt △ A C E ≌ Rt △ A C H (H L)$ ，

∴ $A E = A H$ ，

∵ $E F ⊥ A B$ ， $B C$ 是直径，

∴ $∠ B F E = ∠ B A C$ ，

∴ $E F // A C$ ，

∴ $\frac{E C}{B E} = \frac{A F}{B F} = \frac{2}{5}$ ，

∵ $C E = 3$ ，

∴ $B E = \frac{15}{2}$ ，

∵ $B C ⊥ A D$ ，

∴弧 $A C =$ 弧 $C D$ ，

∴ $∠ C A E = ∠ A B C$ ，

∵ $∠ A E C = ∠ A E B = 90 °$ ，

∴ $△ A E B ∽ △ C E A$ ，

∴ $\frac{A E}{C E} = \frac{B E}{E A}$ ，

∴ $A E^{2} = 3 \times \frac{15}{2} = \frac{45}{2}$ ，

∵ $A E > 0$ ，

∴ $A E = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$ ，

∴ $A H = A E = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$ ，

∵ $∠ G = ∠ G$ ， $∠ C H G = ∠ A E G = 90 °$ ，

∴ $△ G H C ∽ △ G E A$ ，

∴ $\frac{G H}{G E} = \frac{H C}{E A} = \frac{G C}{G A}$ ，

∴ $\frac{y}{x + 3} = \frac{3}{\frac{3 \sqrt{10}}{2}} = \frac{x}{y + \frac{3 \sqrt{10}}{2}}$ ，解得 $x = 7$ ， $y = 2 \sqrt{10}$ ，

∴ $A G = 2 \sqrt{10} + \frac{3 \sqrt{10}}{2} = \frac{7 \sqrt{10}}{2}$ .

四川省绵阳市梓潼县2021年数学中考二诊试卷