解：存在.

①点 $B$ 在 $x$ 轴上方时，则 $k + 2 > 0$ ，即 $- 2 < k < 0$ 时，

过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ 点 $F$ ，在 $A F$ 上作点 $G$ ，使 $∠ G B F = ∠ F B E$ ，

$∵ B F ⊥ A E$ ， $A E ⊥ x$ 轴，

$∴ B F // x$ 轴

$∴ ∠ F B E = ∠ B E C$ ，

$∵ ∠ G B F = ∠ F B E$ ，

$∴ ∠ G B E = ∠ G B F + ∠ F B E = 2 ∠ B E C$ ，

$∵ A E // y$ 轴， $∴ ∠ B A E = ∠ O D C$ ，

$∵ ∠ O D C = 2 ∠ B E C$ ， $∴ ∠ B A E = 2 ∠ B E C$ .

$∴ ∠ B A E = ∠ G B E$ .

又 $∵ ∠ G E B = ∠ B E A$ ， $∴ Δ E B G \sim Δ E A B$ ，

$∴ \frac{E B}{E A} = \frac{E G}{E B}$ ， $E B^{2} = E G \cdot E A$ ，

$∵ A (1 ， 2)$ ， $B (2 ， k + 2)$ ， $∴ E (1 ， 0)$ ， $F (1 ， k + 2)$ ，

$∴ G E = 2 E F = 2 k + 4$ ， $B E^{2} = 1^{2} + {(k + 2)}^{2} = k^{2} + 4 k + 5$ ， $E A = 2$ ，

$∴ k^{2} + 4 k + 5 = 2 (2 k + 4)$ ，

解得： $k_{1} = - \sqrt{3}$ ， $k_{2} = \sqrt{3}$ （舍）

②点 $B$ 在 $x$ 轴下方时，则 $k + 2 < 0$ 即 $k < - 2$ 时，

过点 $B$ 作 $B M ⊥$ 直线 $A E$ 于点 $M$ ，在 $A M$ 的延长线上作点 $N$ ，使 $∠ N B M = ∠ E B M$ .

$∵ B M ⊥ A E$ ， $A E ⊥ x$ 轴，

$∴ B M // x$ 轴， $∴ ∠ M B E = ∠ B E C$ .

$∵ ∠ N B M = ∠ E B M$ ，

$∴ ∠ N B E = ∠ N B M + ∠ E B M = 2 ∠ B E C$ .

$∵ A E // y$ 轴， $∴ ∠ B A E = ∠ O D C$ .

$∵ ∠ O D C = 2 ∠ B E C$ ，

$∴ ∠ B A E = 2 ∠ B E C$ ，

$∴ ∠ B A E = ∠ N B E$ .

又 $∵ ∠ B N E = ∠ A N B$ ， $∴ △ B N E \sim △ A N B$ .

$∴ \frac{B N}{A N} = \frac{E N}{B N}$ . $B N^{2} = E N \cdot N A$

$∵ A (1 ， 2)$ ， $B (2 ， k + 2)$ ， $∴ E (1 ， 0)$ ， $M (1 ， k + 2)$ ，

$∴ N E = 2 E M = - 2 k - 4$ ，

$B N^{2} = B E^{2} = 1^{2} + {(k + 2)}^{2} = k^{2} + 4 k + 5$ ，

$N A = 2 - (2 k + 4) = - 2 k - 2$

$∴ k^{2} + 4 k + 5 = (- 2 k - 4) (- 2 k - 2)$ ，

解得： $k_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{7}}{3}$ ， $k_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{7}}{3}$ （舍）.

$∴$ 综上所述：存作实数 $k$ ，使得 $∠ O D C = 2 ∠ B E C$ ， $k$ 的值为 $- \sqrt{3}$ 或 $\frac{- 4 - \sqrt{7}}{3}$ .

四川省广元市利州区2021年数学中考一诊试卷