解：①设 AE＝x，则DE=10－x，

∵△ABE∽△DEG，

∴ $\frac{A E}{D G} = \frac{A B}{D E}$ ，即 $\frac{x}{D G} = \frac{6}{10 - x}$ ，

∴ $D G = \frac{10 x - x^{2}}{6} = - \frac{1}{6} {(x - 5)}^{2} + \frac{25}{6}$ ，

∵ $- \frac{1}{6} < 0 ， (0 < x < 5)$ ，

∴x＝5 时，DG 有最大值，最大值为 $\frac{25}{6}$ ；

②如图 2 中，连接 DH，设DH与EG交于点M，

由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBC，

∴∠FEB＝∠EBC，

∴CE＝CB＝10，

∴CF＝ $\sqrt{B C^{2} - B F^{2}}$ $= \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$

∴AE＝EF＝10－8＝2，

∴ $D G = \frac{10 \times 2 - 2^{2}}{6} = \frac{8}{3}$ ，

∴ $E G = \sqrt{D E^{2} + D G^{2}} = \sqrt{8^{2} + {(\frac{8}{3})}^{2}} = \frac{8}{3} \sqrt{10}$ ，

由折叠可知 EG 垂直平分线段 DH，

∴DM=HM，

根据三角形的面积可得： $D M = \frac{D E \cdot D G}{E G} = \frac{8 \times \frac{8}{3}}{\frac{8}{3} \sqrt{10}} = \frac{4}{5} \sqrt{10}$ ，

∴ $D H = 2 D M = \frac{8}{5} \sqrt{10}$ .

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