解：①∵以AD为直径的圆经过点C，

∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；

由y=ax²﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：

AC²=9a²+9、CD²=a²+1、AD²=16a²+4

由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，即：9a²+9+a²+1=16a²+4，

化简，得：a²=1，由a＜0，得：a=﹣1，

②∵a=﹣1，

∴抛物线的解析式：y=﹣x²+2x+3，D（1，4）.

∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，

∴PM∥x轴，且PM=OB=1；

设M（x，﹣x²+2x+3），则OF=x，MF=﹣x²+2x+3，BF=OF+OB=x+1；

∵BF=2MF，

∴x+1=2（﹣x²+2x+3），化简，得：2x²﹣3x﹣5=0

解得：x₁=﹣1（舍去）、x₂= $\frac{5}{2}$ .

∴M（ $\frac{5}{2}$ ， $\frac{7}{4}$ ）、N（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{15}{4}$ ）.

③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：

∵C（0，3）、D（1，4），

∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，

∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD²=2QG²；

设Q（1，b），则QD=4﹣b，QG²=QB²=b²+4；

得：（4﹣b）²=2（b²+4），

化简，得：b²+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2 $\sqrt{6}$ ；

即点Q的坐标为（1， $- 4 + 2 \sqrt{6}$ ）或（1， $- 4 - 2 \sqrt{6}$ ）.

湖南省长沙市开福区十校2021年初中学生学业水平联考数学试卷