解：作AE⊥BC于E，AF⊥BD于F，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，

∴∠ABC＝∠PBD＝30°， $B E = E C = \frac{1}{2} B C$ ，

$\cos ∠ A B C = \frac{B E}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $B E = \frac{\sqrt{3}}{2} A B$ ， $B C = \sqrt{3} A B$ ，同理 $B D = \sqrt{3} B P$ ，

∵∠ABC＝∠PBD，

∴∠CBD＝∠ABP，

∵ $\frac{B C}{A B}$ ＝ $\frac{B D}{B P} = \sqrt{3}$ ，

∴△BCD∽△BAP，

∴ $\frac{C D}{P A}$ ＝ $\frac{B C}{A B}$ ＝ $\sqrt{3}$ .

∵点 $P$ 在 $∠ A B C$ 的平分线上，

∴∠ABP＝∠PBC=15°，

∴∠DBC=15°，

∴∠ABD＝45°，设 $B F = A F = a$ ，则 $A B = \sqrt{2} a$ ， $A D = 2 a$ ， $D F = \sqrt{A D^{2} - A F^{2}} = \sqrt{3} a$ ，

$B D = B F + D F = (\sqrt{3} + 1) a$

∵ $\frac{B D}{B P} = \sqrt{3}$ ，

∴ $B P = P D = \frac{(\sqrt{3} + 1) a}{\sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3}) a}{3}$ ，

∵点 $A$ ， $P$ ， $D$ 在同一直线上，

∴ $A P = A D - P D = \frac{(3 - \sqrt{3}) a}{3}$ ，

∵ $\frac{C D}{P A} = \sqrt{3}$ ，

∴ $C D = (\sqrt{3} - 1) a$ ，

$\frac{C D}{B P} = \frac{(\sqrt{3} - 1) a}{\frac{(3 + \sqrt{3}) a}{3}} = 2 \sqrt{3} - 3$ .

湖北省通山县2021年九年级5月教学质量监测数学试卷