解：设AD与BC交于E点，作EP⊥DC，EQ⊥AC，设

△ A D C

在

A D

上的高为

h

，

$∵$ BC平分 $∠ A C D$ ，

$∴ E P = E Q$ ， $△ E P C$ 为等腰直角三角形，

$∵ S_{△ C D E} = \frac{1}{2} C D \cdot E P = \frac{1}{2} D E \cdot h$ ， $S_{△ C A E} = \frac{1}{2} A C \cdot E Q = \frac{1}{2} A E \cdot h$ ，

$∴ \frac{C D}{A C} = \frac{D E}{A E}$ ，即： $\frac{D E}{A E} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，

由 $A D = 3$ ，解得： $D E = 15 - 6 \sqrt{5}$ ，

$∵ \cos D = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，

$∴ \sin D = \frac{2}{3}$ ， $E P = D E \cdot \sin D = 10 - 4 \sqrt{5}$ ，

$∴ C E = \sqrt{2} E P = 10 \sqrt{2} - 4 \sqrt{10}$ ，

又 $∵ ∠ B = ∠ D$ ， $∴ △ A B C ∽ △ E D C$ ，

则： $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{C E}$ ，

$∴ A B = \frac{2 \times (15 - 6 \sqrt{5})}{10 \sqrt{2} - 4 \sqrt{10}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

浙江杭州拱墅区杭州锦绣育才教育集团2020届九年级上学期数学12月月考试卷