解：在

P N

的延长线上截取

N E = P N

，

连结 $E F ， A F ， B F$ ，

$∵ P N = E N ， F N ⊥ P E$ ，

$∴ F P = F E$ ，

$∴ ∠ F P E = ∠ F E P$ ，

$∵ F G / / y$ 轴，

$∴ F G ⊥ x$ 轴，

$∵ F G$ 过圆心 $M$ 点，

$∴ F G$ 垂直平分 $A B$ ，

$∴ F A = F B$ ，

$∴ ∠ F A B = ∠ F B A$ ，

$∵ ∠ F A B = ∠ F P E$ ，

$∴ ∠ A F B = ∠ P F E$ ，

$∵ ∠ A F B + ∠ B F P = ∠ P F E + ∠ B F P$ ，

$∴ ∠ A F P = ∠ B F E$ ，

在 $△ F A P$ 和 $F B E$ 中，

${\begin{array}{l} F A = F B \\ ∠ A F P = ∠ B F E \\ F P = F E \end{array}$ ，

$∴ △ F A P ≌ △ F B E (SAS)$ ，

$∴ A P = B E$ ，

$∴ A P - B P = B E - B P = P E = 2 P N$ ，

$∴ \frac{A P - B P}{P N} = \frac{2 P N}{P N} = 2$ ，

$∴ \frac{A P - B P}{P N}$ 的值为定值，这个定值为2.

四川省绵阳三台县2021届九年级上学期数学12月月考试卷