解：如图：

①法一：依题意可设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $y_{1} y_{2} \neq 0$ ，过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点 $D (3 ， 0)$ ，

∴ $∠ A P D = ∠ D Q B = 90 °$ ，

∵ $∠ A D B = 90 °$ ，

∴ $∠ A D P + ∠ Q D B = 90 °$ ，

又∵ $∠ A D P + ∠ P A D = 90 °$ ，

∴ $∠ P A D = ∠ Q D B$ ，

∴ $△ A P D ∽ △ D Q B$ ，

∴ $\frac{A P}{D Q} = \frac{P D}{B Q}$ ，即 $\frac{y_{1}}{x_{2} - 3} = \frac{3 - x_{1}}{y_{2}}$ ，得 $y_{1} y_{2} = 3 (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} - 9$ ，

设直线 $l ： y = k x + b (k \neq 0)$ ，联立 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3 \end{array}$ ，得 $x^{2} - (3 k + 6) x + (9 - 3 b) = 0$ ，

则 $Δ = {(3 k + 6)}^{2} - 4 (9 - 3 b) = 9 k^{2} + 36 k + 12 b > 0$ ，

∴ $x = \frac{(3 k + 6) \pm \sqrt{Δ}}{2}$ ，

∴ $x_{1} + x_{2} = 3 k + 6$ ， $x_{1} x_{2} = 9 - 3 b$ ，

∴ $y_{1} y_{2} = 3 (3 k + 6) - (9 - 3 b) - 9 = 9 k + 3 b = 3 (3 k + b)$ ，

∵ $y_{1} y_{2} = (k x_{1} + b) (k x_{2} + b) = k^{2} x_{1} x_{2} + k b (x_{1} + x_{2}) + b^{2} = k^{2} (9 - 3 b) + k b (3 k + 6) + b^{2}$

$= 9 k^{2} + 6 k b + b^{2} = {(3 k + b)}^{2}$ ，

∴ ${(3 k + b)}^{2} = 3 (3 k + b)$ ，即 $(3 k + b) (3 k + b - 3) = 0$ ，

∴ $3 k + b = 0$ （舍去）或 $3 k + b - 3 = 0$ ，

当 $3 k + b - 3 = 0$ ，即 $b = 3 - 3 k$ 时， $y = k x + 3 - 3 k = k (x - 3) + 3$ ，令 $x - 3 = 0$ ，则 $y = 3$ ，

∴直线l必过定点 $E (3 ， 3)$ ；

法二：前面同法一，可得： $y_{1} y_{2} = - (x_{1} - 3) (x_{2} - 3)$ ，

设直线 $l ： y = k x + b (k \neq 0)$ ，联立 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3 \end{array}$ ，得 $x^{2} - (3 k + 6) x + (9 - 3 b) = 0$ ，

则 $Δ = {(3 k + 6)}^{2} - 4 (9 - 3 b) = 9 k^{2} + 36 k + 12 b > 0$ ，

∴ $x = \frac{(3 k + 6) \pm \sqrt{Δ}}{2}$ ，

∴ $x_{1} + x_{2} = 3 k + 6$ ， $x_{1} x_{2} = 9 - 3 b$ ，

∵点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 与点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $y = \frac{1}{3} {(x - 3)}^{2}$ 上，

∴ $y_{1} = \frac{1}{2} {(x_{1} - 3)}^{2}$ ， $y_{2} = \frac{1}{2} {(x_{2} - 3)}^{2}$ ，

又∵ $y_{1} y_{2} = - (x_{1} - 3) (x_{2} - 3)$ ，

∴ $\frac{1}{9} {(x_{1} - 3)}^{2} {(x_{2} - 3)}^{2} = - (x_{1} - 3) (x_{2} - 3)$ ，

∴ $\frac{1}{9} {(x_{1} - 3)}^{2} {(x_{2} - 3)}^{2} = - (x_{1} - 3) (x_{2} - 3)$ ，

∵ $x_{1} \neq 3$ ， $x_{2} \neq 3$ ，

∴ $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) \neq 0$ ，

化简，得 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) = - 9$ ，

∴ $x_{1} x_{2} - 3 (x_{1} + x) = - 18$ ，

∴ $(9 - 3 b) - 3 (3 k + 6) = - 18$ ，解得： $b = 3 - 3 k$ ，

将 $b = 3 - 3 k$ 代入 $y = k x + b$ ，得： $y = k x + 3 - 3 k = k (x - 3) + 3$ ，令 $x - 3 = 0$ ，则 $y = 3$ ，

∴直线l必过定点 $E (3 ， 3)$ ；

②∵点 $D (3 ， 0)$ ，点 $E (3 ， 3)$ ，点 $C (0 ， 3)$ ，

∴ $D E = 3$ .

∵ $D F ⊥ l$ ，

∴点F在以 $D E$ 为直径的圆上，设圆心为点G，则点 $G (3 ， \frac{3}{2})$ ，

∴ $C G = \sqrt{{(0 - 3)}^{2} + {(3 - \frac{3}{2})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ，

如图，连接 $C G$ 、 $F G$ ，则 $C F \geq | C G - F G | = \frac{3 \sqrt{5}}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3 \sqrt{5} - 3}{2}$ ，

当且仅当点F在线段 $C G$ 上时，上式取“＝”号.

∴ $C F$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5} - 3}{2}$ .

福建省泉州市2021年数学中考二模试卷