以

A C

的中点

O

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

O - x y z

，

则 $B (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $E (- 1 ， 0 ， 2)$ ， $F (1 ， 0 ， 3)$ .

$∴ \vec{B F} = (1 ， - \sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{B E} = (- 1 ， - \sqrt{3} ， 2)$ ，

设平面 $B E F$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

$∵ {\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B F} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B E} = 0 \end{array}$ ，

$∴ {\begin{array}{l} x - \sqrt{3} y + 3 z = 0 ， \\ x + \sqrt{3} y - 2 z = 0 ， \end{array}$

取 $y = 5 \sqrt{3}$ ，得 $\vec{n} = (- 3 ， 5 \sqrt{3} ， 6)$ .

易得平面 $A B F$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (\sqrt{3} ， 1 ， 0)$ ，

$\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{- 3 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{30} \times 2} = \frac{\sqrt{10}}{20}$ ，

由图可知，二面角 $E - B F = A$ 的平面角是 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 夹角的补角，故二面角 $E - B F - A$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{10}}{20}$ .

河南省商丘市部分学校联考2020-2021学年高二下学期理数阶段性测试试卷（五）