连接PO，因为

△ P A D

是等边三角形，O是AD的中点，

所以 $P O ⊥ A D$ ，

又侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，

侧面 $P A D \cap$ 底面 $A B C D = A D$ ，

所以 $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ，所以 $P O ⊥ O B$ .

因为底面ABCD是菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B D$ 为等边三角形，

所以 $O B ⊥ A D$ ，即 $P O ， O B ， O A$ 两两垂直.

如图，以点O为原点，直线 $O A ， O B ， O P$ 分别人 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴，建立空间直角坐系 $O - x y z$ ，

设AD=2，则 $A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， \sqrt{3} ， 0) ， P (0 ， 0 ， \sqrt{3})$ ， $C (- 2 ， \sqrt{3} ， 0) ， \vec{A B} = (- 1 ， \sqrt{3} ， 0) ，$

$\vec{A P} = (- 1 ， 0 ，$ $\sqrt{3}) ， \vec{P C} = (- 2 ， \sqrt{3} ， - \sqrt{3}) ，$

设平面PAB的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

由 ${\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{n} = 0 \\ \vec{A P} \cdot \vec{n} = 0 \end{array} ，$ 得 ${\begin{array}{l} - x + \sqrt{3} y = 0 \\ - x + \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，

令 $x = \sqrt{3}$ ，得 $\vec{n} = (\sqrt{3} ， 1 ， 1)$ ，

设PC与平面PAB所成的角为 $θ$ ，

则 $\sin θ = | \cos < \vec{P C} ， \vec{n} > | = \frac{| \vec{P C} \cdot \vec{n} |}{| \vec{P C} | | \vec{n} |}$ $= \frac{| - 2 \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times 1 - \sqrt{3} \times 1 |}{\sqrt{4 + 3 + 3} \times \sqrt{3 + 1 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{5} ，$

则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ .

甘肃省靖远县2021届高三理数高考考前全真模拟试卷