建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：

$A (0 ， - \sqrt{2} ， 0) ， C (\sqrt{2} ， 0 ， 0) ， B (\sqrt{2} ， - \sqrt{2} ， 0) ， P (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， 1) ， G (\frac{3 \sqrt{2}}{4} ， - \frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{1}{2})$ ，

$\vec{A G} = (\frac{3 \sqrt{2}}{4} ， \frac{3 \sqrt{2}}{4} ， \frac{1}{2}) ， \vec{A C} = (\sqrt{2} ， \sqrt{2} ， 0) ， \vec{A P} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{3 \sqrt{2}}{2} ， 1)$

设平面 $P A C$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

${\begin{array}{l} \vec{A C} \cdot \vec{n} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} y = 0 \\ \vec{A P} \cdot \vec{n} = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} y + z = 0 \end{array}$ ，令 $y = - 1 ， \vec{n} = (1 ， - 1 ， \sqrt{2})$ ，

设直线 $A G$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $θ$ ，则 $\sin θ = | \cos 〈 \vec{A G} ， \vec{n} 〉 | = \frac{| \vec{A G} \cdot \vec{n} |}{| \vec{A G} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2} \times 2} = \frac{\sqrt{5}}{10}$ ，

直线 $A G$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .

安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期理数第一次教学质量检测试卷