①如图②中，

由折叠可知，△ $O^{'} P Q ≅ Δ O P Q$ ，

$∴ O P = O^{'} P$ ， $O Q = O^{'} Q$ ，

$∵ O P = O Q = t$ ，

$∴ O P = O Q = O^{'} P = O^{'} Q$ ，

$∴$ 四边形 $O P O^{'} Q$ 是菱形，

$∴ Q O^{'} / / O B$ ，

$∴ ∠ A D Q = ∠ B = 30 °$ ，

$∵ A (2 ， 0)$ ，

$∴ O A = 2$ ， $Q A = 2 - t$ ，

在 $Rt △ A Q D$ 中， $D Q = 2 Q A = 4 - 2 t$ ，

$∵ O^{'} D = O^{'} Q - Q D = 3 t - 4$ ，

$∴$ $\frac{4}{3} < t < 2$ ．

②当点 $O^{'}$ 落在 $A B$ 上时，重叠部分是 $Δ P Q O^{'}$ ，此时 $t = \frac{4}{3}$ ， $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times {(\frac{4}{3})}^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}$ ，

当 $\frac{4}{3} < t \leq 2$ 时，重叠部分是四边形 $P Q D C$ ，

由①得： $O^{'} D = 3 t - 4 ， ∠ D C O^{'} = 30 ° ，$

$∴ C O^{'} = \frac{1}{2} (3 t - 4) ， C D = \frac{\sqrt{3}}{2} (3 t - 4) ，$

$∴ S = S_{△ P Q O^{'}} - S_{△ C D O^{'}} ，$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} t^{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} {(3 t - 4)}^{2} = - \frac{7 \sqrt{3}}{8} t^{2} + 3 \sqrt{3} t - 2 \sqrt{3}$ ，

当 $t = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \times (- \frac{7 \sqrt{3}}{8})} = \frac{12}{7}$ 时， $S$ 有最大值，最大值 $= \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，

当 $1 \leq t \leq \frac{4}{3}$ 时， $△ P Q O^{'}$ 在 $△ A O B$ 的内部，

当 $t = 1$ 时， $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，

综上所述， $\frac{\sqrt{3}}{8} \leq S \leq \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ．

辽宁省沈阳市苏家屯区2021年中考数学二模试卷