如图所示：

连接 $A C_{1}$ 交 $A_{1} C$ 于点O，取 $B_{1} C_{1}$ 中点D，连接DO， $A_{1} D$ ，

由（1）知 $A A_{1} C_{1} C$ 为矩形，故O为 $A C_{1}$ 的中点，

∴ $O D / / A B_{1}$ ，

故 $∠ D O A_{1}$ 即为异面直线 $A_{1} C$ 与 $A B_{1}$ ，所成角或其补角，

∵ $B A ⊥ B B_{1}$ ， $B C ⊥ B B_{1}$ ，

∴ $∠ A B C$ 为二面角 $A - B B_{1} - C$ 的平面角，即 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，

又 $A B = B B_{1} = B C$ ，

∴ $△ A B C$ 为等边三角形，

设 $B_{1} B = 2$ ，则 $D O = O A_{1} = \sqrt{2}$ ， $D A_{1} = \sqrt{3}$ ，

∴ $\cos ∠ D O A_{1} = \frac{2 + 2 - 3}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ ，

故异面直线 $A_{1} C$ 与 $A B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ .

重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试卷