如图，

以 $D$ 为坐标原点， $D A$ ， $D E$ 分别为 $x ， y$ 轴，

$\vec{F C_{1}}$ 方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系.

由已知得各点坐标为

$D (0 ， 0 ， 0) ， A (\sqrt{3} ， 0 ， 0) ， B (\sqrt{3} ， 2 ， 0) ， E (0 ， 1 ， 0) ， F (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， 0) ， C_{1} (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， \sqrt{3})$ ，

所以 $\vec{B C_{1}} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2} ， \sqrt{3})$ ， $\vec{D A} = (\sqrt{3} ， 0 ， 0)$ ， $\vec{D C_{1}} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， \sqrt{3})$ ，

设平面 $A C_{1} D$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

则 $\vec{D A} ⊥ \vec{n} ， \vec{D C_{1}} ⊥ \vec{n}$ ，

所以 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{D A} \cdot \vec{n} = 0 \\ \overset{⇀}{D C_{1}} \cdot \vec{n} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} \sqrt{3} x + 0 y + 0 z = 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3}{2} y + \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，

令 $z = \sqrt{3}$ ，解得 $x = 0 ， y = - 2$ ，

所以 $\vec{n} = (0 ， - 2 ， \sqrt{3})$ ，

所以 $| \vec{n} | = \sqrt{7}$ ，

记直线 $B C_{1}$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角为 $θ$ ，

则 $\sin θ = \frac{| {\vec{B C}}_{1} \cdot \vec{n} |}{| \vec{B C} | | \vec{n} |} = | \frac{0 + 1 + 3}{2 \times \sqrt{7}} | = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

湖南省邵阳市新邵县2021届高三下学期数学新高考适应性考试试卷