解：①当点Q在BC下方时，如图2，

延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，

∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，

则点C是RQ的中点，

在△BOC中，tan∠OBC＝ $\frac{O C}{O B}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ＝tan∠ROC＝ $\frac{R C}{B C}$ ，

则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝ $\sqrt{x^{2} + {(2 x)}^{2}}$ ＝ $\sqrt{5}$ x＝BQ，

在△QRB中，S_△RQB＝ $\frac{1}{2}$ ×QR•BC＝ $\frac{1}{2}$ BR•QK，即 $\frac{1}{2}$ 2x•2x＝ $\frac{1}{2}$ KQ• $\sqrt{5}$ x，

解得：KQ＝ $\frac{4 x}{\sqrt{5}}$ ，

∴sin∠RBQ＝ $\frac{K Q}{B Q}$ ＝ $\frac{\frac{4 x}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5} x}$ ＝ $\frac{4}{5}$ ，则tanRBH＝ $\frac{4}{3}$ ，

在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4× $\frac{4}{3}$ ＝ $\frac{16}{3}$ ，则点H（0，﹣ $\frac{16}{3}$ ），

由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝ $\frac{4}{3}$ （x﹣4）②，

联立①②并解得：x＝4（舍去）或 $\frac{5}{3}$ ，

当x＝ $\frac{5}{3}$ 时，y＝﹣ $\frac{28}{9}$ ，故点Q（ $\frac{5}{3}$ ，﹣ $\frac{28}{9}$ ）；

②当点Q在BC上方时，

同理可得：点Q的坐标为（﹣ $\frac{11}{3}$ ， $\frac{92}{9}$ ）；

综上，点Q的坐标为（ $\frac{5}{3}$ ，﹣ $\frac{28}{9}$ ）或（﹣ $\frac{11}{3}$ ， $\frac{92}{9}$ ）.

四川省资阳市雁江区2021年初中学业水平考试及适应性检测数学试卷