解：当PC＝

\frac{1}{2}

BC＝

\frac{1}{2}

a时，

当P为BC的中点，则PB＝PC，

∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，

作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：

则PF＝PB＝ $\frac{1}{2}$ a，

∵∠B＝30°，

∴PE＝ $\frac{1}{2}$ BP＝ $\frac{1}{4}$ a，

∴AB边上存在2个△ABC关于点P的等距点，

∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．

∴PC＜ $\frac{1}{2}$ BC，即PC＜ $\frac{a}{2}$ ；

当PC＝ $\frac{1}{3}$ BC＝ $\frac{1}{3}$ a时，PB＝ $\frac{2}{3}$ a，PE＝ $\frac{1}{2}$ BP＝ $\frac{1}{3}$ a，

则△ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，

∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．

∴PC＞ $\frac{1}{3}$ BC，

∴PC长的取值范围是 $\frac{a}{3}$ ＜PC＜ $\frac{a}{2}$ ．

北京市海淀区2020-2021学年七年级下学期数学期中试卷（五四学制）