假设在线段

B D

上是否存在点

P

，使平面

A_{1} E P ⊥

平面

A_{1} B D

.

根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：

则 $B (1 ， 0 ， 0) ， D (0 ， \sqrt{3} ， 0) ， A_{1} (0 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{A_{1} B} = (1 ， 0 ， - 1) ， \vec{A_{1} D} = (0 ， \sqrt{3} ， - 1)$ ，

设 $P (x ， y ， z) ， B P = λ B D (0 \leq λ \leq 1)$ ，

则 $(x - 1 ， y ， z) = λ (- 1 ， \sqrt{3} ， 0)$ ，所以 $P (1 - λ ， \sqrt{3} λ ， 0)$ ，

所以 $\vec{E A_{1}} = (0 ， 0 ， 1) ， \vec{E P} = (1 - λ ， \sqrt{3} λ ， 0)$ ，

设平面 $A_{1} E P$ 一个法向量为： $\vec{m} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{E A_{1}} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{E P} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} z_{1} = 0 \\ (1 - λ) x_{1} + \sqrt{3} λ y_{1} = 0 \end{array}$ ，

令 $x_{1} = \sqrt{3} λ ， y_{1} = λ - 1$ ，所以 $\vec{m} = (\sqrt{3} λ ， λ - 1 ， 0)$ ，

设平面 $A_{1} B D$ 一个法向量为： $\vec{n} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A_{1} B} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A_{1} D} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} x_{2} - z_{2} = 0 \\ \sqrt{3} y_{2} - z_{2} = 0 \end{array}$ ，

令 $y_{2} = 1 ， z_{2} = x_{2} = \sqrt{3}$ ，所以 $\vec{n} = (\sqrt{3} ， 1 ， \sqrt{3})$ ，

因为平面 $A_{1} E P ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ，

所以 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ，即 $3 λ + λ - 1 = 0 ，$

解得 $λ = \frac{1}{4}$ .

所以在线段 $B D$ 上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_{1} E P ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ，且 $\frac{B P}{B D} = \frac{1}{4}$ .

福建省厦门市思明区湖滨路高中2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷