解：①如图1所示：

∵令 $y = 0$ ，

$- \frac{4}{3} x^{2} + \frac{8}{3} x + 4 = 0$

解得： $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 3$ ，

∴ $C (- 1 ， 0)$ ．

∴ $B C = 4 ， A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ ．

∵D、E分别为 $A C$ 、 $A B$ 的中点，

∴ $D E / / B C$ ．

∴ $\frac{A D}{D C} = \frac{A F}{F O} = 1$ ．

∴ $P Q = F O = 2$ ．

∵ $P Q ⊥ B C ， Q N ⊥ A B$ ，

∴ $∠ P Q N + ∠ N Q B = 90 °$ ，

$∠ N Q B + ∠ Q B N = 90 °$ ．

∴ $∠ P Q N = ∠ Q B N$ ．

∴当 $\frac{P Q}{Q N} = \frac{A B}{C B}$ 或 $\frac{P O}{Q N} = \frac{C B}{A B}$ 时， $△ P Q N$ 与 $△ A B C$ 相似．

∵当 $\frac{P Q}{Q N} = \frac{A B}{C B}$ 时， $\frac{2}{Q N} = \frac{5}{4}$ ，

解得： $Q N = \frac{8}{5}$ ．

∵ $\frac{Q N}{Q B} = \frac{O A}{A B} = \frac{4}{5}$ ，

∴ $Q B = \frac{5}{4} Q N = \frac{5}{4} \times \frac{8}{5} = 2$ ．

∴ $O Q = 3 - 2 = 1$ ．

∴点P的坐标为 $(1 ， 2)$ ．

当 $\frac{P Q}{Q N} = \frac{C B}{A B}$ 时， $\frac{2}{Q N} = \frac{4}{5}$ ，

解得： $Q N = 2.5$ ．

∵ $\frac{Q N}{Q B} = \frac{O A}{A B} = \frac{4}{5}$ ，

∴ $Q B = \frac{5}{4} Q N = \frac{5}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{8}$ ．

∴ $O B - B Q = - \frac{1}{8}$ ，

∴点P的坐标为 $(- \frac{1}{8} ， 2)$ ．

综上所述点P的坐标为： $(1 ， 2)$ 或 $(- \frac{1}{8} ， 2)$ ．

②如图2所示：

∵ $P Q = Q N ， P Q = 2$ ，

∴ $Q N = 2$ ．

∵ $Q N ⊥ A B$ ，

∴ $∠ Q N B = 90 °$ ，

∵由（2）可知 $O A = 4 ， A B = 5$ ，

∴ $\sin ∠ A B O = \frac{4}{5}$ ．

∴ $\frac{Q N}{Q B} = \frac{4}{5}$ ，即 $\frac{2}{Q B} = \frac{4}{5}$ ，

解得： $Q B = \frac{5}{2}$ ．

∴ $O Q = O B - Q B = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ ．

∴ $P (\frac{1}{2} ， 2)$ ．

内蒙古包头市东河区2021年中考数学二模试卷