解：①由（2）得P(3a，-3a-1)，当a＜0时，如图所示，根据平行四边形的性质可知，点P平移到点C，横坐标加-3a，纵坐标加1，则可知Q点坐标为（0-3a，-1+1），即（-3a，0）；

当a＞0时，如图所示，根据平行四边形的性质可知，点P平移到点C，横坐标减3a，纵坐标加1，则可知Q点坐标为（0-3a，-1+1），即（-3a，0）；

综上，Q点坐标为：（-3a，0）

②当a＜0时，如上图所示，当抛物线经过Q点时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，

把Q（-3a，0）代入得， $0 = 9 a^{3} - 6 a^{2} - 3 a$ ，解得 $a_{1} = 0$ （舍去）， $a_{2} = 1$ （舍去）， $a_{3} = - \frac{1}{3}$ ，所以，a的取值范围为 $a \leq - \frac{1}{3}$ ；

当a＞0时，如上图所示，当抛物线经过Q点时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，

把Q（-3a，0）代入得， $0 = 9 a^{3} - 6 a^{2} - 3 a$ ，解得 $a_{1} = 0$ （舍去）， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = - \frac{1}{3}$ （舍去），所以，a的取值范围为 $a \geq 1$ ；

当点C在D点上方时，DQ与二次函数的图象有公共点，此时 $- 3 a > - 1$ ，解得 $a < \frac{1}{3}$ ，

所以，a的取值范围为 $0 < a < \frac{1}{3}$ ；

综上，a的取值范围为： $a \leq - \frac{1}{3}$ 或 $0 < a < \frac{1}{3}$ 或 $a \geq 1$

江苏省泰州市姜堰区2021年数学中考一模试卷