解法一由（1）知，双曲线E的方程为

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 a^{2}} = 1

.

设直线l与x轴相交于点C.

当 $l ⊥ x$ 轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则 $| O C | = a$ ， $| A B | = 4 a$ ，

又因为 $△ O A B$ 的面积为8，所以 $\frac{1}{2} | O C | \cdot | A B | = 8$ ，因此 $\frac{1}{2} a \cdot 4 a = 8$ ，解得 $a = 2$ .

此时双曲线E的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

线面证明当直线l不与x轴垂直时，此时双曲线的方程 $E ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 满足条件，

当直线l不与x轴垂直时，双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 也满足条件.

设直线l的方程为 $y = k x + m$ ，依题意，得 $k > 2$ 或 $k < - 2$ ，

则 $c (- \frac{m}{k} ， 0)$ .记 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ..

由 ${\begin{array}{l} y = k x + m \\ y = 2 x \end{array}$ 得 $y_{1} = \frac{2 m}{2 - k}$ ，同理得 $y_{2} = \frac{2 m}{2 + k}$ .

由 $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} | O C | \cdot | y_{1} - y_{2} |$ 得， $\frac{1}{2} | - \frac{m}{k} | \cdot | \frac{2 m}{2 - k} - \frac{2 m}{2 + k} | = 8$ ，

即 $m^{2} = 4 | 4 - k^{2} | = 4 (k^{2} - 4)$ .

由 ${\begin{array}{l} y = k x + m \\ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1 \end{array}$ 得 $(4 - k^{2}) x^{2} - 2 k m x - m^{2} - 16 = 0$ .

因为 $4 - k^{2} < 0$ ，所以 $Δ = 4 k^{2} m^{2} + 4 (4 - k^{2}) (m^{2} + 16) = - 16 (4 k^{2} - m^{2} - 16)$ ，

又 $m^{2} = 4 (k^{2} - 4)$ ，所以 $Δ = 0$ ，即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

（2）解法二由（1）知，双曲线E的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 a^{2}} = 1$ .

设直线l的方程为 $x = m y + t$ ， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ .依题意得 $- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$ .

由 ${\begin{array}{l} x = m y + t \\ y = 2 x \end{array}$ ，得 $y_{1} = \frac{2 t}{1 - 2 m}$ ，同理得 $y_{2} = \frac{- 2 t}{1 + 2 m}$ .设直线l与x轴相交于点C，则 $C (t ， 0)$ .

由 $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} | O C | \cdot | y_{1} - y_{2} | = 8$ ，得 $\frac{1}{2} | t | \cdot | \frac{2 t}{1 - 2 m} + \frac{2 t}{1 + 2 m} | = 8$ ，

所以 $t^{2} = 4 | 1 - 4 m^{2} | = 4 (1 - 4 m^{2})$ .

由 ${\begin{array}{l} x = m y + t \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 a^{2}} = 1 \end{array}$ 得， $(4 m^{2} - 1) y^{2} + 8 m t y + 4 (t^{2} - a^{2}) = 0$ .

因为 $4 m^{2} - 1 < 0$ ，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当

$Δ = 64 m^{2} t^{2} - 16 (4 m^{2} - 1) (t^{2} - a^{2}) = 0$ ，

即 $4 m^{2} a^{2} + t^{2} - a^{2} = 0$ ，即 $4 m^{2} a^{2} + 4 (1 - 4 m^{2}) - a^{2} = 0$ ，即 $(1 - 4 m^{2}) (a^{2} - 4) = 0$ .

所以 $a^{2} = 4$ ，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

河北省2021届高三下学期数学仿真模拟（四）试卷