解：①证明：如图2中，过点

A

作

A T ⊥ C D

于

T

$∵ A B = A C$ ，

$∴ ∠ A B C = ∠ A C B = 30 °$ ，

$∴ ∠ B A C = 180 ° - 30 ° - 30 ° = 120 °$ ，

$∵ ∠ D A E = 120 °$ ，

$∴ ∠ D A E = ∠ B A C$ ，

$∴ ∠ D A B = ∠ E A C$ ，

在 $Δ D A B$ 和 $Δ E A C$ 中，

${\begin{array}{l} A D = A E \\ ∠ D A B = ∠ E A C \\ A B = A C \end{array}$ ，

$∴ Δ D A B ≅ Δ E A C (S A S)$ ，

$∴ B D = E C$ ，

$∵ A D = A E$ ， $A T ⊥ D E$ ， $∠ D A E = 120 °$ ，

$∴ ∠ A D E = 30 °$ ， $D T = E T$ ，

$∴ D E = 2 D T = 2 A D \cdot \cos 30 ° = \sqrt{3} A D$ ，

$∴ C D = D E + E C = \sqrt{3} A D + B D$ .

②如图3中，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $J$ ，在 $E C$ 上取一点 $R$ ，使得 $R J = C R$ ，连接 $R J$ .

$∵ ∠ A D F = 30 °$ ， $D F = D A$ ，

$∴ ∠ D A F = ∠ D F A = 75 °$ ，

$∵ ∠ D A E = ∠ B A C = 120 °$ ，

$∴ ∠ B A J = 120 ° - 75 ° = 45 °$ ， $∠ C A J = 120 ° - 45 ° = 75 °$ ，

$∴ ∠ A C J = 30 °$ ，

$∴ ∠ C A J = ∠ C J A = 75 °$ ，

$∴ C A = C J$ ，

$∵ C E ⊥ A J$ ，

$∴ A E = E J$ ，

$∵ ∠ A E D = ∠ J E G = 30 °$ ，

$∴ ∠ E J G = ∠ E G J = 75 °$ ，

$∴ E J = E G$ ，

$∴ A D = A E = D F$ ，

$∴ D A = D F = E J = E G$ ，

$∴ Δ D A F ≅ Δ E G J (S A S)$ ，

$∴ A F = J G$ ，

$∴ C G + A F = C G + J G = C J$ ，

设 $A E = E J = a$ ，

$∵ C A = C J$ ， $C E ∠ A J$ ，

$∴ ∠ E C J = \frac{1}{2} ∠ A C B = 15 °$ ，

$∵ R C = R J$ ，

$∴ ∠ R J C = ∠ R C J = 15 °$ ，

$∴ ∠ E R J = ∠ R J C + ∠ R C J = 30 °$ ，

$∴ R J = R C = 2 a$ ， $E R = \sqrt{3} a$ ，

$∴ C J = \sqrt{E J^{2} + C E^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(2 a + \sqrt{3} a)}^{2}} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) a$ ，

$∴$ $\frac{C G + A F}{A E} = \frac{C J}{E J} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

重庆市2021年初中学业水平模拟考试数学试卷三