解：存在，理由：

①当 $∠ B Q M = 90 °$ 时（如图2），

∵ $M$ 在线段 $B C$ 上，

∴设 $M (m ， - \frac{3}{4} m + 3)$ ，

∵ $∠ C M Q > 90 °$ ，

∴只能 $C M = M Q = - \frac{3}{4} m + 3$ ，

∵ $M Q / / y$ 轴，

∴ $Δ M Q B ∽ Δ C O B$ ，

∴ $\frac{B M}{B C} = \frac{Q M}{C O}$ ，即 $\frac{5 - (- \frac{3}{4} m + 3)}{5} = \frac{- \frac{3}{4} m + 3}{3}$ ，

解得： $m = \frac{3}{2}$ ，

∴ $M (\frac{3}{2} ， \frac{15}{8})$ ，

②当 $∠ Q M B = 90 °$ 时（如图3），

∵ $∠ C M Q = 90 °$ ，

∴只能 $C M = M Q$ ，

设 $C M = M Q = m$ ，

∴ $B M = 5 - m$ ，

∵ $∠ B M Q = ∠ C O B = 90 °$ ， $∠ M B Q = ∠ O B C$ ，

∴ $Δ B M Q ∽ Δ B O C$ ，

∴ $\frac{M Q}{O C} = \frac{B M}{O B}$ ，即 $\frac{m}{3} = \frac{5 - m}{4}$ ，

解得 $m = \frac{15}{7}$ ，即 $C M = \frac{15}{7}$ ，

过点 $M$ 作 $M N / / O B$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，

如图所示：

∴ $Δ C N M ∽ Δ C O B$ ∴ $\frac{M N}{O B} = \frac{C M}{B C}$ ，即 $\frac{M N}{4} = \frac{\frac{15}{7}}{5}$ ，

∴ $M N = \frac{12}{7}$ ，

∵点 $M$ 在线段 $B C$ 上，且 $B C$ 的解析式为 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ ，

∴当 $x = \frac{12}{7}$ 时，则 $y = - \frac{3}{4} x + 3 = \frac{12}{7}$ ，

∴ $M (\frac{12}{7} ， \frac{12}{7})$ ．

综上，在线段 $B C$ 上存在这样的点 $M$ ，使 $Δ C Q M$ 为等腰三角形且 $Δ B Q M$ 为直角三角形，点 $M$ 的坐标为 $(\frac{3}{2} ， \frac{15}{8})$ 或 $(\frac{12}{7} ， \frac{12}{7})$

贵州省贵阳市南明区2021年数学中考模拟试卷