解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∵点A是抛物线的最高点，点D在抛物线上，

∴点D在点A的下方，

由平移的性质可得点C在点B的下方，

∵点C在x轴上，点B的坐标为(0， $c$ ) ，

∴ $c$ ＞0.

①如图1，过点A，D作AE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F.

∴∠AEB=∠DFC=90°，

∴∠EAB+∠ABE=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，AB=DC，

∴∠ABE+∠CBO=90°，

∴∠EAB=∠CBO，

同理可得∠DCF=∠CBO，

∴∠DCF=∠EAB，

∵∠AEB=∠COB=90°，

∴△ABE∽△BCO，△ABE≌△CDF，

∴ $\frac{A E}{B O} = \frac{B E}{C O}$ ，CF=AE，DF=BE，

∵AE=3，BE= $c + \frac{9}{2} - c = \frac{9}{2}$ ，BO=c，

∴ $\frac{3}{c} = \frac{\frac{9}{2}}{C O}$ ，

∴CO= $\frac{3}{2} c$ ，

∴点C的坐标为( $- \frac{3}{2} c$ ，0)，

根据平移的性质，点D的坐标为( $- \frac{3}{2} c - 3$ ， $\frac{9}{2}$ )，

将点D( $- \frac{3}{2} c - 3$ ， $\frac{9}{2}$ )代入 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + c$ 得

$- \frac{1}{2} {(- \frac{3}{2} c - 3)}^{2} - 3 (- \frac{3}{2} c - 3) + c = \frac{9}{2}$ ，

解得 $c_{1} = 0$ （舍去）， $c_{2} = \frac{8}{9}$ .

所以c的值为 $\frac{8}{9}$ ；

②如图2，设直线AB的表达式 $y = k x + b$ ，

将A(-3， $c + \frac{9}{2}$ )，B (0， $c$ )代入得

${\begin{array}{l} \frac{9}{2} + c = - 3 k + b \\ c = b \end{array}$ ，解得 ${\begin{array}{l} k = - \frac{3}{2} \\ b = c \end{array}$ ，

∴直线AB的表达式为 $y = - \frac{3}{2} x + c$ .

过点D作DG⊥x轴交AB于点G，

设点D的坐标为（t， $- \frac{1}{2} t^{2} - 3 t + c$ ），

则点G的坐标为（t， $- \frac{3}{2} t + c$ ），

$S_{▱ A B C D}$ =2 $S_{△ A B D}$ =2× $\frac{1}{2} D G$ × $| x_{A} - x_{B} |$

=2× $\frac{1}{2}$ （ $- \frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t$ ）×3，

= $- \frac{3}{2} {(t + \frac{3}{2})}^{2} + \frac{27}{8}$ .

∴当 $t = - \frac{3}{2}$ 时，四边形ABCD的面积最大为 $\frac{27}{8}$

福建省宁德市初中毕业班2021年数学中考一模试卷