解：存在．

∵ $y = x^{2} + 6 x + 5$ = ${(x + 3)}^{2} - 4$

∴顶点 $D$ 的坐标为 $(- 3 ， - 4)$ ，

连接 $B D ，$

则 $B D^{2} = 2 ， C D^{2} = 20 ， B C^{2} = 18 ，$

$∴ B D^{2} + B C^{2} = C D^{2} ，$

$∴ △ B C D$ 是直角三角形，且 $∠ C B D = 90^{\circ}$ ．

$①$ 当点 $P$ 在直线 $B C$ 下方时，

设 $C D$ 的中点为H

则 $H (- 2 ， - 2)$ ，

且点P为直线 $B H$ 与抛物线的交点(不与点B重合)

设直线 $B H$ 的表达式为y=px+q

把B，H的坐标代入得 ${\begin{array}{l} - 2 = - 2 p + q \\ - 3 = - 4 p + q \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} p = \frac{1}{2} \\ q = - 1 \end{array}$

∴直线 $B H$ 的表达式为 $y = \frac{1}{2} x - 1 ，$

令 $\frac{1}{2} x - 1 = x^{2} + 6 x + 5$ ，

解得 $x = - 4$ (舍去)或 $x = - \frac{3}{2}$

$∴$ 此时 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{4})$

$②$ 当点P在直线 $B C$ 上方时， $B P / / C D$ ．

设直线CD的解析式为y=mx+n

把C，D的坐标代入得 ${\begin{array}{l} 0 = - m + n \\ - 4 = - 3 m + n \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} m = 2 \\ n = 2 \end{array}$

∴直线 $C D$ 的表达式为 $y = 2 x + 2$ ，

则可设直线 $B P$ 的表达式为 $y = 2 x + c ，$

将点 $B (- 4 ， - 3)$ 代入 $y = 2 x + c ，$ 解得 $c = 5$

故直线 $B P$ 的表达式为 $y = 2 x + 5$ ．

令 $2 x + 5 = x^{2} + 6 x + 5$ ，

解得 $x = - 4$ 或 $x = 0 ，$

$∴$ 此时点 $P$ 的坐标为 $(0 ， 5)$

综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{4})$ 或 $(0 ， 5)$ ．

湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题13 动点变换问题