解：连结

P O

．

因为 $△ P A D$ 是等边三角形，O是 $A D$ 的中点，

所以 $P O ⊥ A D$ ，

由（1）得 $P O ⊥ O B ， O B ⊥ A D$ ，所以 $P O ， A D ， O B$ 两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系 $O - x y z$ ，

则 $A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， \sqrt{3} ， 0) ， P (0 ， 0 ， \sqrt{3}) ， C (- 2 ， \sqrt{3} ， 0)$ ，

设平面 $A B P$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

又 $\vec{A B} = (- 1 ， \sqrt{3} ， 0) ， \vec{A P} = (- 1 ， 0 ， \sqrt{3})$

由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 ， \\ \overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 ， \end{array}$ 得 ${\begin{array}{l} - x + \sqrt{3} y = 0 ， \\ - x + \sqrt{3} z = 0 ， \end{array}$

令 $x = \sqrt{3}$ ，得 $\vec{n} = (\sqrt{3} ， 1 ， 1)$ ；

设平面 $B P C$ 的法向量为 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ ．

又 $\vec{B C} = (- 2 ， 0 ， 0) ， \vec{B P} = (0 ， - \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ ，

由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{B C} \cdot \overset{⇀}{m} = 0 ， \\ \overset{⇀}{B P} \cdot \overset{⇀}{m} = 0 ， \end{array}$ 得 ${\begin{array}{l} - 2 a = 0 ， \\ - \sqrt{3} b + \sqrt{3} c = 0 ， \end{array}$

令 $b = 1$ ，得 $\vec{m} = (0 ， 1 ， 1)$ ．

所以 $\cos 〈 \vec{n} ， \vec{m} 〉 = \frac{2}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，

故 $\sin 〈 \vec{n} ， \vec{m} 〉 = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

所以二面角 $A - P B - C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

广西来宾、玉林、梧州等2021届高三理数4月模拟联考试卷