解：由题意，直线

A C ， B C ， C C_{1}

两两相互垂直，如图所示建立直角坐标系，C为坐标原点，

有 $C (0 ， 0 ， 0) ， C_{1} (0 ， 0 ， 1) ， A_{1} (0 ， 1 ， 1) ， B_{1} (1 ， 0 ， 1) ， F (0 ， \frac{1}{2} ， 0) ， D (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 0)$ ，设 $M (0 ， 0 ， m) ， (0 \leq m \leq 1)$ ，

则 $\vec{A_{1} B_{1}} = (1 ， - 1 ， 0) ， \vec{A_{1} F} = (0 ， - \frac{1}{2} ， - 1) ， \vec{D M} = (- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， m)$ ，

要使 $D M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} E F$ ，则 ${\begin{array}{l} \vec{D M} \cdot \vec{A_{1} B_{1}} = 0 \\ \vec{D M} \cdot \vec{A_{1} F} = 0 \end{array}$ ，

即 ${\begin{array}{l} (- \frac{1}{2}) \times 1 + (- \frac{1}{2}) \times (- 1) + 0 \times m = 0 \\ 0 \times (- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{2}) \times (- \frac{1}{2}) + (- 1) \times m = 0 \end{array}$ ，解得 $m = \frac{1}{4} \in [0 ， 1]$ ，即 $\frac{C M}{C_{1} C} = \frac{1}{4}$ ，

故在棱 $C_{1} C$ 上存在点M，使得 $D M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} E F$ ，且 $\frac{C M}{C_{1} C} = \frac{1}{4}$ ．

陕西省宝鸡市千阳中学2021届高三下学期理数5月第六次适应性训练试卷