解：取

D^{'} E

的中点H，连接

A H ， H C^{'}

由 $E F ⊥$ 平面 $A D^{'} E$ 可知

$A E ⊥ E F ， D^{'} E ⊥ E F$ ，

∴ $∠ D^{'} E A$ 为二面角 $D^{'} - E F - B$ 的平面角．

∴ $∠ D^{'} E A = 60 °$ ．

∵ $A E = D^{'} E = 1$ ，∴ $△ A D^{'} E$ 为等边三角形，

∴ $A H ⊥ D^{'} E$

由（1）知平面 $E F C^{'} D^{'} ⊥$ 平面 $A D^{'} E$ ，且平面 $E F C^{'} D^{'} \cap$ 平面 $A D^{'} E = E D^{'}$ ，

∴ $A H ⊥$ 平面 $E F C^{'} D^{'}$ ，

∴ $∠ A C^{'} H$ 为 $A C^{'}$ 与平面 $E F C^{'} D^{'}$ 所成的角．

在 $R t △ A C^{'} H$ 中， $A H = \frac{\sqrt{3}}{2} ， A C^{'} = \sqrt{2}$ ，

∴ $\sin ∠ A C^{'} H = \frac{A H}{A C^{'}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，

即 $A C^{'}$ 与平面 $E F C^{'} D^{'}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期理数质量检测（期末）试卷