解：①证明：如图2中，

∵ $M D^{'} = M O$ ， $∠ D^{'} M N = ∠ O M N$ ，

∵ $O M // G D^{'}$ ，

∴ $∠ O M T = ∠ D^{'} T M$ ，

∴ $∠ D^{'} M T = ∠ D^{'} T M$ ，

∴ $D^{'} M = D^{'} T$ ，

∴ $O M = D T$ ，

∵ $O A = D G$ ，

∴ $A M = T G$ .

②如图3中，连接 $O T$ ，

由（2）可得 $O T = D^{'} T$ ，

由勾股定理可得 $x^{2} + y^{2} = {(9 - y)}^{2}$ ，

得 $y = - \frac{1}{18} x^{2} + \frac{9}{2}$ .

结合（1）可得 $A D^{'} = O G = 3$ 时， $x$ 最小，从而 $x \geq 3$ ，

当 $M N$ 恰好平分 $∠ O A B$ 时， $A D^{'}$ 最大即 $x$ 最大，

此时 $G$ 点与 $N$ 点重合，四边形 $A O N D^{'}$ 为正方形，

故 $x$ 最大为9.从而 $x \leq 9$ ，

∴ $3 \leq x \leq 9$

江苏省无锡市宜兴市和桥联盟2021年数学中考模拟试卷（3月）