解：如图②，连接

B F

，

∵ $\frac{A B}{B C} = \frac{E F}{F C}$ ， $∠ A B C = ∠ E F C = 90 °$ ，

∴ $R t △ A B C$ ∽ $R t △ E F C$ ，

∴ $\frac{C A}{C B} = \frac{C E}{C F}$ ，

又 $∠ A C B = ∠ E C F$ ，

∴ $∠ A C B - ∠ B C E = ∠ E C F - ∠ B C E$ ，

∴ $∠ A C E = ∠ B C F$ ，

∴ $△ A C E$ ∽ $△ B C F$ ，

∵ $\frac{A B}{B C} = \frac{E F}{F C} = k$ ，

设BC=a，FC=b，则AB=ka，EF=kb，

∴AC= $\sqrt{B C^{2} + A B^{2}} = \sqrt{k^{2} + 1} a$ ，EC= $\sqrt{E F^{2} + F C^{2}} = \sqrt{1 + k^{2}} b$ ，

∴ $\frac{A E}{B F} = \frac{A C}{B C} = \sqrt{k^{2} + 1}$ ，

∵ $A E = 2$ ，

∴ $B F = \frac{2}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ ，

∵ $∠ E B F = 90 °$ ，

∴ $E F^{2} = B E^{2} + B F^{2} = 1 + \frac{4}{k^{2} + 1} = k^{2} b^{2}$ ，

∵ $C E^{2} = E F^{2} + C F^{2}$ ，即 $3^{2} = {(k b)}^{2} + b^{2}$ ，

∴ $b^{2} = \frac{9}{k^{2} + 1}$ ，

， $\frac{9 k^{2}}{k^{2} + 1} = 1 + \frac{4}{k^{2} + 1}$

解得 $k = \frac{\sqrt{10}}{4}$ 或 $k = - \frac{\sqrt{10}}{4}$ （不合题意，舍去）.

即 $k$ 的值是 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

江苏省无锡市新吴区新一教育集团2021年数学中考模拟试卷(4月）