解：存在，理由如下：

由（1）得： $C (0 ， 3)$ ，

设直线BC的解析式为： $y = k x + c$ ，

将 $B (3 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ 代入得：

${\begin{cases} 3 k + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$ ，解得： ${\begin{cases} k = - 1 \\ c = 3 \end{cases}$ ，

∴直线BC的解析式为： $y = - x + 3$ ，

①如图，过A点作BC的平行线，交抛物线于P₁点，

此时，根据平行线间距离处处相等，可得 $S_{△ P_{1} B C} = S_{△ A B C}$ ，

∵直线AP₁与直线BC平行，

∴设直线AP₁的解析式为： $y = - x + d$ ，

将 $A (1 ， 0)$ 代入得： $d = 1$ ，

∴直线AP₁的解析式为： $y = - x + 1$ ，

此时，联立 ${\begin{cases} y = - x + 1 \\ y = x^{2} - 4 x + 3 \end{cases}$ ，

得： $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，

解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 1$ ，

代入 $y = - x + 1$ 分别求得： $y_{1} = - 1$ ， $y_{2} = 0$ ，

∴ $P_{1} (2 ， - 1)$ ， $P_{2} (1 ， 0)$ ；

②由①可知，将直线BC向下平移至AP₁时，即向下平移2个单位，满足条件，

同理，将直线BC向上平移2个单位，与抛物线的交点也满足条件，如图所示，

此时，直线P₁P₂的解析式为： $y = - x + 5$ ，

联立 ${\begin{cases} y = - x + 5 \\ y = x^{2} - 4 x + 3 \end{cases}$ ，

得： $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ，

解得： $x_{3} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ ， $x_{4} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ ，

代入直线 $y = - x + 5$ 分别求得： $y_{3} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ ， $y_{4} = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ ，

∴ $P_{3} (\frac{3 - \sqrt{17}}{2} ， \frac{7 + \sqrt{17}}{2})$ ， $P_{4} (\frac{3 + \sqrt{17}}{2} ， \frac{7 - \sqrt{17}}{2})$ ；

综上，存在这样的P点，分别为 $P_{1} (2 ， - 1)$ ， $P_{2} (1 ， 0)$ ， $P_{3} (\frac{3 - \sqrt{17}}{2} ， \frac{7 + \sqrt{17}}{2})$ ， $P_{4} (\frac{3 + \sqrt{17}}{2} ， \frac{7 - \sqrt{17}}{2})$ ；

广东省汕尾市海丰县2021年中考数学一模试卷