∵ABCD为正方形，∴ BD⊥AC

又 $S O ⊥$ 平面ABCD，BD $\subset$ 平面ABCD，BD $⊥ S O$

又SO $\cap$ AC=O， ∴ $B D ⊥$ 平面SAC，

过F作FG//BD则 $F G ⊥$ 平面SAC，

又SC $\subset$ 平面SAC，故 $F G ⊥$ SC

过F作 $F T ⊥$ SC则SC⊥平面FGT

故只要Q在平面FGT内运动，都有FQ⊥SC

∴Q点的轨迹即为平面FGT与棱锥表面的交线，即 $△ F G T$

在 $△ F G T$ 中， $T F = T G = \frac{4 \times 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{6}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $G F = \frac{1}{2} B D = 4$

$△ F G T$ 的周长即点Q的轨迹长度为4+ $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

湖北省荆门市2019-2020学年高一下学期期末数学试题