解：由（1）知

E A ， E B ， E P

两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

设 $a = 1$ ，则 $A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， D (- 1 ， 0 ， 0) ， Q (0 ， 1 ， 1)$ ，

$\vec{A B} = (- 1 ， 1 ， 0) ， \vec{B Q} = (0 ， 0 ， 1) ， \vec{A D} = (- 2 ， 0 ， 0) ， \vec{A Q} = (- 1 ， 1 ， 1)$ ，

设平面ABQ的法向量 $\vec{n} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A B} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B Q} = 0 \end{array}$ ，故 ${\begin{array}{l} - x_{1} + y_{1} = 0 \\ z_{1} = 0 \end{array}$ ，取 $x_{1} = 1$ ，所以 $\vec{n} = (1 ， 1 ， 0)$ .

设平面ADQ的法向量为 $\vec{m} = (x_{2} ， y_{2} ， y_{2})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A Q} = 0 \end{array}$ ， ${\begin{array}{l} - 2 x_{2} = 0 \\ - x_{2} + y_{2} + z_{2} = 0 \end{array}$ ，取 $y_{2} = 1$ ，则 $\vec{m} = (0 ， 1 ， - 1)$ ，

所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{1}{2}$ ，而 $0 ° \leq 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 \leq 180 °$ ，故 $〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = 60 °$ ，

由图知二面角B-AQ-D为锐二面角，所以二面角B-AQ-D的大小为 $60 °$ .

河南省商丘市新乡市部分学校2021届高三理数5月联考试卷