解：如图所示：

取AB中点M，以射线DM，DC，DP分别为 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $D - x y z$ ，

则 $P (0 ， 0 ， 2)$ ， $A (\sqrt{3} ， - 1 ， 0)$ ， $B (\sqrt{3} ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 2 ， 0)$

所以 $\vec{P A} = (\sqrt{3} ， - 1 ， - 2)$ ， $\vec{P B} = (\sqrt{3} ， 1 ， - 2)$ ， $\vec{P C} = (0 ， 2 ， - 2)$ ，

设平面 $P B C$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{P B} = \sqrt{3} x + y - 2 z = 0 ， \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{P C} = 2 y - 2 z = 0 ， \end{array}$

不妨取 $\vec{n} = (1 ， \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ ，

记直线PA与平面 $P B C$ 所成角为 $θ$ ，

所以 $\sin θ = | \cos 〈 \vec{P A} ， \vec{n} 〉 | = \frac{| \vec{P A} \cdot \vec{n} |}{| \vec{P A} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{\sqrt{42}}{14}$ ．

所以直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{14}$ ．

安徽省蚌埠市2021届高三下学期理数第四次教学质量检查试卷