解：由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣

\frac{4}{x}

①，

由（1）知，k＝﹣4，

∴P（﹣1，4），

如图1，过点P作PQ⊥y轴于Q，则PQ＝1，

Ⅰ、当点A在x轴正半轴时，

∵PA＝4AB，

∴PB＝3AB，

∵PQ⊥y轴，OA⊥y轴，

∴OA∥PQ，

∴△AOB∽∠PQB，

∴ $\frac{O A}{P Q} = \frac{A B}{P B}$ ，

∴ $\frac{O A}{1} = \frac{A B}{3 A B}$ ＝ $\frac{1}{3}$ ，

∴OA＝ $\frac{1}{3}$ ，

∴A（ $\frac{1}{3}$ ，0），

∵P（﹣1，4），

∴直线PA的解析式为y＝﹣3x+1②，

联立①②解得， ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 4 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x = \frac{4}{3} \\ y = - 3 \end{matrix}$ ，

∴Q（ $\frac{4}{3}$ ，﹣3），

Ⅱ、当点A在x轴负半轴上，

∵PA'＝A'B'，

∴PB'＝5A'B'，

同（Ⅰ）的方法得，△A'OB'∽△PQB'，

∴ $\frac{O A^{'}}{P Q} = \frac{A^{'} B^{'}}{P B^{'}}$ ，

∴ $\frac{O A^{'}}{1} = \frac{A^{'} B^{'}}{5 A^{'} B^{'}}$ ，

∴OA'＝ $\frac{1}{5}$ ，

∴A'（﹣ $\frac{1}{5}$ ，0），

∴直线PA'的解析式为y＝﹣5x﹣1③，

联立①③解得， ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 4 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x = \frac{4}{5} \\ y = - 5 \end{matrix}$ ，

∴Q（ $\frac{4}{5}$ ，﹣5）；

浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题12 反比例函数