解：过点C作CD⊥AB于点D，

∵ $\frac{P A}{P B}$ = $\frac{1}{3}$ ，

∴点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上，

①如图3，当点P在线段AB上时，

∵ $\frac{P A}{P B}$ = $\frac{1}{3}$ ，

∴PA= $\frac{1}{4}$ AB= $\frac{1}{2}$ CD=PD，

在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= $\sqrt{C D^{2} + D P^{2}}$ = $\sqrt{C D^{2} + {(\frac{1}{2} C D)}^{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ CD，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= $\sqrt{A D^{2} + C D^{2}}$ = $\sqrt{2 C D^{2}}$ = $\sqrt{2}$ CD，

∴ $\frac{P C}{A C}$ = $\frac{\frac{\sqrt{5}}{2} C D}{\sqrt{2} C D}$ = $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ；

②如图4，当点P在线段BA的延长上时，

∵ $\frac{P A}{P B}$ = $\frac{1}{3}$ ，

∴PA= $\frac{1}{2}$ AB=CD，

在Rt△CPD中，由勾股定理可得CP= $\sqrt{C D^{2} + D P^{2}}$ = $\sqrt{C D^{2} + {(2 C D)}^{2}}$ = $\sqrt{5}$ CD，

在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC= $\sqrt{A D^{2} + C D^{2}}$ = $\sqrt{2 C D^{2}}$ = $\sqrt{2}$ CD，

∴ $\frac{P C}{A C}$ = $\frac{\sqrt{5} C D}{\sqrt{2} C D}$ = $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ；

综上可知 $\frac{P C}{A C}$ 的值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

浙教版备考2021年中考数学三轮冲刺复习专题9 三角形