解：由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．

∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，

∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．

∵AE＝5，

∴DE＝ $\sqrt{A D^{2} + A E^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ ．

∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．

由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，

∠EAP＝∠EA＇P＝90°，

PD＝AD－AP＝12－x，

∵∠ADE＝∠A＇DP，

∴△ADE∽△A＇DP．

∴ $\frac{D E}{D P} = \frac{A E}{A' P}$ ．

即 $\frac{13}{12 - x} = \frac{5}{x}$ ．

解得 $x = \frac{10}{3}$ ．

∴在Rt△APE中，tan∠APE＝ $\frac{A E}{A P} = \frac{3}{2}$ ．

故点 $A^{'}$ ，D距离的最小值时， tan∠APE的值为 $\frac{3}{2}$ ．

河北省石家庄市裕华区2021年中考数学3月模拟试卷