解：探究：①如解图3，过点

F^{'}

作

F^{'} Q ⊥ A D

于点Q，

当 $F^{'}$ 到 $A D$ 的距离为 $\frac{7}{2}$ 时，有 $F^{'} Q = \frac{7}{2}$ .

∵ $A F^{'} = A F = 4 + 3 = 7$ ，

∴此时 $\sin α = \frac{F^{'} Q}{A F^{'}} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $α = 30 °$ .

如解图4，当Q落在 $D A$ 延长线时，可求得 $α = 150 °$ .

∴当 $m > \frac{7}{2}$ 时， $α$ 的取值范围为 $30 ° < α < 150 °$ ；

②如解图5，当半圆 $O^{'}$ 与 $A B$ 相切时，切点为R，连接 $O^{'} R$ ，

∴ $∠ O^{'} R A = 90 °$ ，

∵ $s i n ∠ O^{'} A R = \frac{3}{4}$ ，

∴ $∠ O^{'} A R = 49 °$ .

∴ $∠ F^{'} O^{'} R = 90 ° + 49 ° = 139 °$ .

∴ $\overset{⌢}{F^{'} R}$ 的长为 $\frac{139 \times π \times 3}{180} = \frac{139 π}{60}$ ；

如解图6，当半圆 $O^{'}$ 与 $B C$ 相切，切点为R，

过点 $O^{'}$ 作 $O^{'} P ⊥ A B$ 于点P，连接 $O^{'} R$ ，

∴ $∠ O^{'} R B = 90 °$ .

易得四边形 $P B R O^{'}$ 是矩形，

∴ $O^{'} R = B P = 3$ ，

∴ $A P = 3$ .

∴ $\sin ∠ A O^{'} P = \frac{3}{4}$ ，

∴ $∠ P O^{'} A = 49 °$ ，

∴ $∠ R O^{'} F^{'} = 41 °$ .

∴ $\overset{⌢}{F^{'} R}$ 的长为 $= \frac{41 π \times 3}{180} = \frac{41}{60} π$ .

河北省石家庄市十八县重点中学2021年中考数学模拟试卷