解：建立如图所示空间直角坐标系

D - x y z

，

因为 $D E ⊥$ 平面 $A B E$ ， $A E \subset$ 平面 $A B E$ ，所以 $D E ⊥ A E$ .

由 $A D = 2$ ， $D E = 1$ ，可得 $E (\frac{1}{2} ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $B (2 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 1 ， 0)$ ，

则 $\vec{B C} = (- 2 ， - 1 ， 0) ， \vec{E C} = (- \frac{1}{2} ， 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，

设平面 $B C E$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{matrix} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{B C} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{E C} = 0 \end{matrix}$ ，即得 ${\begin{array}{l} - 2 x - y = 0 \\ - \frac{1}{2} x + y - \frac{\sqrt{3}}{2} z = 0 \end{array}$ ，取 $x = 1$ ，得 $y = - 2$ ， $z = - \frac{5}{\sqrt{3}}$ ，

所以平面 $B C E$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (1 ， - 2 ， - \frac{5}{\sqrt{3}})$ .

取平面 $B C D$ 的一个法向量 $\vec{n} = (0 ， 0 ， 1)$ ，

可得 $c o s 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

因为二面角 $D - B C - E$ 所成角为锐角，所以二面角 $D - B C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

四川省绵阳市2021届高三理数第三次诊断考试试卷