解：由（1）可知

E A ⊥ B C

，

又 $E A ⊥ C D$ ， $B C \cap C D = C$ ，

所以 $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，

故以A为坐标原点， $A D$ ， $A B$ ， $A E$ 所在直线分别为 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $A (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $D (1 ， 0 ， 0)$ ， $C (2 ， 2 ， 0)$ ， $E (0 ， 0 ， 2)$ ，

$\vec{A B} = (0 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{D B} = (- 1 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{E C} = (2 ， 2 ， - 2)$ ，

因为 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ，

所以点 $F (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{B F} = (1 ， - 1 ， 1)$ ，

设平面 $A B F$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A B} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{B F} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} 2 y = 0 \\ x - y + z = 0 \end{array}$ ，

令 $z = 1$ ，则 $x = - 1$ ，故 $\vec{m} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，

同理，设平面 $B D F$ 的法向量为 $\vec{n} = (x^{'} ， y^{'} ， z^{'})$ ，

易得 $\vec{n} = (2 ， 1 ， - 1)$ ，

所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{- 3}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

易知二面角 $A - B F - D$ 为锐角，

所以二面角 $A - B F - D$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ．

陕西省2021届高三下学期理数教学质量检测测评试卷（三）