解：设圆柱的底面半径为

r

，母线长为

l

，

∵圆柱的体积和侧面积均为 $4 π$ ，

∴ ${\begin{array}{l} 2 π r l = 4 π \\ π r^{2} l = 4 π \end{array}$ ，解得， $r = 2$ ， $l = 1$ ，

即 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 1$ ，

∵ $∠ A B C = 30^{\circ}$ ，∴ $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，

设圆柱过 $C$ 点的母线为 $C D$ ，以 $C$ 为原点， $C A$ ， $C B$ ， $C D$ 所在直线分别为 $x$ 轴､ $y$ 轴､ $z$ 轴建立空间直角坐标系 $C - x y z$ ，如图所示；

则 $C (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $A_{1} (2 ， 0 ， 1)$ ， $B_{1} (0 ， 2 \sqrt{3} ， 1)$ ；

∴ $\vec{C A_{1}} = (2 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{C B_{1}} = (0 ， 2 \sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{B A_{1}} = (2 ， - 2 \sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{B B_{1}} = (0 ， 0 ， 1)$

设平面 $C A_{1} B_{1}$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{C A_{1}} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{C B_{1}} = 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} 2 x + z = 0 \\ 2 \sqrt{3} y + z = 0 \end{array}$ ，

取 $z = 2 \sqrt{3}$ ，则 $x = - \sqrt{3}$ ， $y = - 1$ ，

∴平面 $C A_{1} B_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- \sqrt{3} ， - 1 ， 2 \sqrt{3})$ ，

设平面 $B A_{1} B_{1}$ 的法向量为 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ ，

由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{B A_{1}} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{B B_{1}} = 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} 2 a - 2 \sqrt{3} b + c = 0 \\ c = 0 \end{array}$ ，

取 $b = 1$ ，则 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 0$ ，

∴平面 $B A_{1} B_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (\sqrt{3} ， 1 ， 0)$ ，

∴ $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{| \vec{n} | \cdot | \vec{m} |} = \frac{- 3 - 1}{\sqrt{3 + 1 + 12} \cdot \sqrt{3 + 1}} = - \frac{1}{2}$ ，

由图中可看出二面角 $B - A_{1} B_{1} - C$ 是锐角，

故二面角 $B - A_{1} B_{1} - C$ 的值为 $60^{\circ}$ ．

河南省焦作市2021届高三理数第三次大联考试卷