解：建立如图空间直角坐标系

O - x y z

，

由 $∠ D A B = 60 °$ ，知 $B D = A B = B C = 2$ ，

又 $A A_{1} = 3$ ，则 $B (1 ， 0 ， 0)$ ， $E (0 ， \sqrt{3} ， \frac{3}{2})$ ， $A_{1} (0 ， - \sqrt{3} ， 3)$ ， $D_{1} (- 1 ， 0 ， 3)$ ，

设 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ 为平面 $A_{1} B E$ 的一个法向量.

由 ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{A_{1} B} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{B E} = 0 \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} x + \sqrt{3} y - 3 z = 0 \\ - x + \sqrt{3} y + \frac{3}{2} z = 0 \end{array}$ ，

令 $y = \sqrt{3}$ ，可得 $\vec{n} = (9 ， \sqrt{3} ， 4)$ .

设 $\vec{m} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ 为平面 $D_{1} B E$ 的一个法向量.

由 ${\begin{array}{l} \vec{m} \cdot \overset{⇀}{B D_{1}} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overset{⇀}{B E} = 0 \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} - 2 x_{1} + 3 z_{1} = 0 \\ - x_{1} + \sqrt{3} y_{1} + \frac{3}{2} z_{1} = 0 \end{array}$ ，

令 $x_{1} = 3$ ，可得 $\vec{m} = (3 ， 0 ， 2)$ .

$\cos 〈 \vec{n} ， \vec{m} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{9 \times 3 + \sqrt{3} \times 0 + 4 \times 2}{\sqrt{9^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 2^{2}}} = \frac{7 \sqrt{13}}{26}$ .

如图可知二面角 $A_{1} - B E - D_{1}$ 为锐角，

所以二面角 $A_{1} - B E - D_{1}$ 的余弦值是 $\frac{7 \sqrt{13}}{26}$ .

甘肃省2021届第二次高考诊断理数试卷