解：存在，理由如下：

∵原抛物线解析式为： $y = - \frac{1}{4} {(x - 2)}^{2} + 4$ ，顶点为 $E (2 ， 4)$ ，

∴向左平移2个单位后， $L^{'}$ 的解析式为： $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4$ ，

根据题意，设 $M (2 ， m)$ ， $N (n ， - \frac{1}{4} n^{2} + 4)$ ，

①当AE为对角线时，根据平行四边形四点的相对位置关系可得：

${\begin{cases} 0 = 2 + m \\ 4 = m - \frac{1}{4} n^{2} + 4 \end{cases}$ ，解得： ${\begin{cases} m = 1 \\ n = - 2 \end{cases}$ ，

∴ $M_{1} (2 ， 1)$ ， $N_{1} (- 2 ， 3)$ ，如图所示，四边形 $A M_{1} E N_{1}$ 为平行四边形；

②当AM为对角线时，根据平行四边形四点的相对位置关系可得：

${\begin{cases} 0 = 2 + n \\ m = - \frac{1}{4} n^{2} + 4 + 4 \end{cases}$ ，解得： ${\begin{cases} m = 7 \\ n = - 2 \end{cases}$ ，

∴ $M_{2} (2 ， 7)$ ， $N_{2} (- 2 ， 3)$ ，如图所示，四边形 $A E M_{2} N_{2}$ 为平行四边形；

③当AN为对角线时，根据平行四边形四点的相对位置关系可得：

${\begin{cases} 4 = - 2 + n \\ m + 4 = - \frac{1}{4} n^{2} + 4 \end{cases}$ ，解得： ${\begin{cases} m = - 9 \\ n = 6 \end{cases}$ ，

∴ $M_{3} (2 ， - 9)$ ， $N_{3} (6 ， - 5)$ ，如图所示，四边形 $A M_{3} N_{3} E$ 为平行四边形；

综上，存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为 $(- 2 ， 3)$ 或 $(6 ， - 5)$ .

陕西省学林2021年数学中考模拟大联考试卷（二）